ÁLGEBRA LINEAL - Fase II

 

ÁLGEBRA LINEAL

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Encuentre los dos posibles valores de λ en los siguientes casos y grafique los puntos en el plano cartesiano:

a. De modo que los puntos P y Q se encuentren a 13 unidades de distancia P(7,λ) y Q(-5,2) 

b. De modo que los puntos M y N se encuentren a √73 unidades de distancia M(-3,-5) y Q(-6,λ)

Fórmula: 𝒅(𝑷, 𝑸) = √(𝒙𝟐− 𝒙𝟏)𝟐+(𝒚𝟐− 𝒚𝟏)𝟐
 

2. Grafique en el Plano Cartesiano y luego encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores. 

a. 𝑢⃗ = (−3, 6) 

b. El vector 𝑣 tiene un punto inicial (4, 1) y un punto final (−3, 5)

Fórmulas: |𝒖⃗⃗ | = √𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 y 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒃/𝒂

 

3. Sean 𝑢 = −𝑖 + 3𝑗 𝑦 𝑣 = 𝛼𝑖 − 2𝑗 Encuentre 𝛼 tal que: 

a. 𝑢 𝑦 𝑣 sean ortogonales.
b. 𝑢 𝑦 𝑣 sean paralelos.
c. El ángulo entre 𝑢 𝑦 𝑣 sea 𝜋/4

 

 

4. Calcule la proyección vectorial y la proyección escalar indicada en cada caso, con los vectores dados: 

a. Proyección de 𝑢 en 𝑣, para 𝑢 = 𝑖 + 2𝑗; 𝑣 = −2𝑖 + 2𝑗
b. Proyección de 𝑣 en 𝑢 para 𝑢 = −5𝑖 + 3𝑗; 𝑣 = 3𝑖 − 2𝑗

 

5. Determine las siguientes matrices: 

a. Matriz 2 × 2, 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] para la cual 𝑎𝑖𝑗= 𝑖 + 𝑗 − 2
 

b. Matriz 3 × 4, 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗] para la cual 𝑎𝑖𝑗= {𝑖 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗  0 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗

 

6. Dadas las siguientes matrices, calcular las operaciones
 

a. 3𝐴𝐵
 

b. 𝐶2𝐵
 

𝐴 = |2  3  1  

       −1  2  3| 

 

𝐵 = |3 

        1

         2| 

 

𝐶 = |1 2 3 

        4 5 6 

        7 8 9|

 

 

7. Calcular el valor de la matriz 𝑋 en las siguientes operaciones:
 

a.  1/3𝑋 − [1 −1 ; 4 −3 ; 3 12] = [8 −2 ; 1  6 ; −5  15]

b.  1/5𝑋 +[1 −1  ; 4 −3 ; 3 12] = [8 −2 ; 1  6 : −5  15]

8. Por medio del método de Gauss-Jordan, encuentre la matriz inversa de 

 

𝐴 = [1  1  2  1

         2  3  6 3 

        1   2  5  3

        1   1   2  2 ]
 

 

9. Aplique operaciones elementales sobre matrices para encontrar la matriz triangular superior de 

 

 𝐴 = [−1  2  −4  6 

            3  0     1   4
            4  6     2  1  

           2 −2    6 −6] 

 

 

10. Calcule el determinante haciendo uso del método de menores y cofactores: |
 

|1 −1  2  0  2

 3   1  4  3  0
2 −1  0  0  0
0  4  0  0  3
2  0  0  −1 4|