ECUACIONES DIFERENCIALES - FASE 2

 

ECUACIONES DIFERENCIALES

 

FASE 2  ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación y′′ − 4y′ + 4 = 2e^x − 1, Un estudiante propone:

A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1e^2x +C2xe^2x

B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1e^−2x +C2xe^−2x

C. Hacer las sustituciones y = x^m,  y′ = mx^m−1, y′′ = m(m − 1)x^m−2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1x^2 +C2x^2

D. Hacer las sustituciones y = x^m, y′ = mxm−1, y′′ = m(m − 1)x^m−2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1x^−2 +C2x^−2

2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

En la intención de resolver la ecuación diferencial y′′ + 2y′ + 1 = senx, un estudiante propone hacer las sustituciones y = x^m, y′ = mx^m−1, y′′ = m(m − 1)x^m−2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1x^−1+C2x^−1.

El proceso anterior es:

A. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1

B. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1

C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da yh=C1e^x +C2e^x

D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da yh=C1e^−x +C2xe−x

3. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir y = x^m, y′ = mx^m−1, y′′ = m(m − 1)x^m−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:

yh = c1x^m + c2 x^n, si m es distinto de n

yh = c1x^m + c2 x^mlnx, si m = n

yh = x

∝(c1 cos(βlnx) + c2sen(βlnx)), si m y n son complejos de forma ∞ + iβ. Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x es:

A. yh = c1cos(lnx) + c2sen(lnx).

B. yh = c1x − c2 lnx

C. yh = c1 + c2 lnx

D. yh = c1x + c2 x^−1

4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma

a2D

2y(x) + a1Dy(x) + a0y(x) = g(x)

Es y = r1u1 + r2 u2

En donde u1 y u2 son las soluciones de la ecuación homogénea asociada y r1 =w1^w, r2 =w2^w Para ello, los wronskianos w = |u1 u2 u1′ u2′ |, w1 = |g(x) u2g′(x) u2′|, w3 = | u1 g(x) u1′ g1′(x)|

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación y′′ − 5y′ + 4y = 1 es:

A. y = c1e^−4x + c2e−x −1/12

B. y = c1e^4x + c2e^x +15/12

C. B. y = c1e^4x + c2e^x −15/12

D. y = c1x^−4 + c2x^−1 −1/3